1−2+4−8+…

正則性、線型性、安定性をもつ任意の総和法は幾何級数を次のように計算する。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$

この場合、a = 1 と r = −2 なので、和は 1/3 である。

レオンハルト・オイラーは、1775年に Institutiones において、現在では1 − 2 + 4 − 8 + ... のオイラー変換と呼ばれるものを事実上用い、収束級数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ... に到達した。後者の和は 1/3 であるので、オイラーは 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓ と結論付けた[5]。無限級数に対する彼の考えは完全には現代的アプローチには従わない。今日では 1 − 2 + 4 − 8 + ... は Euler summable であり、そのオイラー和は 1/3 であると言う[6]。

Excerpt from the Institutiones

オイラー変換は、正の項からなる数列から始める。

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ... .

すると差分の列は

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, ...,

となり、全く同じ列である。したがって差分をとることを繰り返した列はどれもすべての n に対して Δⁿa₀ = 1 で始まる。そのオイラー変換は以下の級数である。

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}$

これは収束幾何級数で、その和は通常の公式により 1/3 である。

1 − 2 + 4 − 8 + ... の ボレル総和はまた 1/3 である。エミール・ボレルが1896年にボレル和の極限公式を導入したとき、これは 1 − 1 + 1 − 1 + ... に続く彼の最初の例の1つだった。