多項分布
多項分布(たこうぶんぷ、英: multinomial distribution)は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。
確率質量関数 | |
累積分布関数 | |
母数 |
試行回数 (整数) 各試行の確率 () |
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台 |
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確率質量関数 | |
期待値 | |
分散 |
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モーメント母関数 | |
特性関数 | where |
二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個(k 個)の値をとり、それぞれの値をとる確率は p1, …, pk(すなわち、i = 1, …, k について pi ≥ 0 であり、 が成り立つ)であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 Xi は n 回の試行で i という数が出る回数を示す。X = (X1, …, Xk) は n と p をパラメータとする多項分布に従う。
属性
期待値は次の通り。
共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。
対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。
ここで、i ≠ j である。
共分散は全体として負となる。なぜなら、N が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。
これは、k × k の非負値定符号行列であり、行列の階数は k − 1 である。
対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。
この表現では標本サイズ n が出現しない点に注意されたい。
k個の要素それぞれは n と pi(i 番目の要素に対応する確率)をパラメータとする二項分布となる。
多項分布のサポートは集合 である。その要素数は である(重複組合せ)。
外部リンク
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