期待値
確率論における期待値(きたいち、英: expected value)は確率変数を含む関数の実現値に確率の重みをつけた加重平均である[1]。確率分布に対して定義する場合は「平均」と呼ばれることが多い。
確率変数 を引数にとる関数 の に関する期待値 は次で定義される[1]:
例えば、賭博において、期待値を受け取れる賞金の「見込み」の金額とすることがある。ただし、期待値を取る確率変数値の確率が最大とは限らず、確率変数値が期待値を取るわけでもない。しかし、独立同分布であれば、標本平均は期待値に収束することが知られている(大数の法則)。
期待値が意味をもつのは、根元事象の確率がある程度均等な場合である。確率が非常に極端な値をとる根元事象がある場合は、期待値の概念にはなじまない。例えば、「保険」や「宝くじ」では高額の保険金や当選金が得られる確率はとても小さいので期待値は負の値になるが、そのことをもって、保険に入ることや宝くじの購入が単なる損失であると判断するのは、適当ではない。
定義
性質
期待値は総和や積分によって定義されるので、総和や積分のもつ性質をすべて持っている。以下、X, Y を確率変数、a, b をスカラーとする。
- 線形性
- 単調性
- イェンセンの不等式:凸関数 φ に対して、
- チェビシェフの不等式:(0, ∞) 上で定義された正値単調増加関数 φ と任意の正の数 ε に対して、
さらに、2つの可積分な確率変数 X と Y が独立の場合は、
が成立する。
確率変数を含まない定数項を含むことができ、上記の性質と合わせて次の性質を持つ[3]:
計算法
連続型確率変数の期待値はルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換を行って確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 X の分布を PX とすると、任意の可測関数 f に対して
となり、さらに PX が確率密度関数 p を持つときは
により、ルベーグ測度で計算できるようになる。
例
賞金の期待値
次のようなゲームを考える。
- 100 円支払えば、6 面サイコロ 1 個を 1 回振ることができる。
- サイコロの出た目に応じて次の金額 X 円がもらえる。
出た目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
X | 20 | 50 | 100 | 100 | 150 | 150 |
このとき、もらえる金額 X の期待値は
となり、参加費 100 円より少ない。このことから、このゲームは、試行回数を増やしていくと、平均としては1回あたり5円の損をし、回数を増やすほど損であるといえる(大数の法則)。
脚注
- "確率変数 X,ある関数 g(·) とするとき,g(X) の期待 値は次のように定義される。" Tanizaki. (2018). 第5章 統計学の基礎:復習. 大阪大学 「計量経済基礎」.
- JIS Z 8101-1 1999 統計−用語と記号−第1部:確率及び一般統計用語(日本規格協会)
- "a + bX の期待値は,E(a + bX) = a + bE(X) ... となる。" Tanizaki. (2018). 第5章 統計学の基礎:復習. 大阪大学 「計量経済基礎」.