S-双対

古典物理学では、電場と磁場の振る舞いはマクスウェル方程式として知られる一連の方程式で記述される。ベクトル解析の言葉では、電荷も電流もない空間の領域の中にいることを前提とすると、マックスウェル方程式は次のように書かれる。[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

ここに ${\displaystyle \mathbf {E} }$ は電場を表すベクトル（さらに詳しくは、ベクトル場で、値を空間内の異なる点では変化しうる）で、${\displaystyle \mathbf {B} }$ は磁場を表すベクトルであり、${\displaystyle t}$ は時間、${\displaystyle c}$ は光速度である。これらの方程式で使われている他のシンボルは、ベクトル解析の中の勾配 (ベクトル解析)("grad"という記号)、発散 (ベクトル解析)("div"という記号)、回転 (ベクトル解析)("curl"という記号)を参照のこと。

これらの方程式[5]の重要な性質は、電場 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ を磁場 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ へ、磁場 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ を電場 ${\displaystyle -1/c^{2}\mathbf {E} }$ へ同時に置き換える変換のしたで、不変であることである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}}$

言い換えると、マクスウェル方程式の解くような電場と磁場が与えられると、これらの電場と磁場が入れ替えても、新しい場がマクスウェル方程式の解を再び与えるような新しい物理的な設定することが可能となる。

この状況が、場の量子論の中のS-双対の最も基本的な事項である。実際、以下に説明するように、場の量子論のフレームワークには、このマックスウェル方程式の対称性を直接一般化したS-双対のバージョンが存在する。

場の量子論では、電場と磁場は電磁場と呼ばれる一つの実在に統一されていて、この場はゲージ理論あるいは、ヤン＝ミルズ理論と呼ばれる場の量子論の特別なタイプにより記述される。ゲージ理論では、物理場は高い対称性の度数を持っていて、数学的にはリー群の考えを使い理解することができる。このリー群はゲージ群として知られている。電磁場は、ゲージ群U(1)に対応する最も単純なゲージ理論により記述されるが、しかし他のより向く雑な非アーベル的ゲージ理論も存在する。[6]

マクスウェル方程式の中の対称に相互作用する電場と磁場のゲージ理論の類似物が存在するか否かを問うという 、自然な疑問がある。1970年代末にこの回答が、クラウス・モントネン(Claus Montonen)とダヴィッド・オリーブ[7] により与えられた。この仕事は、より早い段階ピーター・ゴダード (物理学者)(Peter Goddard)、ジャン・ヌイツ(Jean Nuyts)、オリーブによる仕事[8]の仕事に基づくものであった。彼らの仕事は、現在モントネン・オリーブの双対性として知られてるS-双対の例をもたらした。モントネン・オリーブの双対性は、N=4 超対称ヤン・ミルズ理論と呼ばれるゲージ理論の非常に特殊なタイプに適用され、このことは 2つのその理論が正確な意味で等価ではないかということを言っている。[1] 理論の一つがゲージ群 ${\displaystyle G}$ を持っていると、双対な理論はゲージ群 ${\displaystyle {^{L}}G}$ を持っている。ここに ${\displaystyle {^{L}}G}$ は一般には ${\displaystyle G}$ とは異なるラングランズ双対群を表している。[9]

場の量子論の重要な量は、複素化された結合定数である。これは次の公式により定義される複素数である。[10]

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}$

ここに、${\displaystyle \theta }$ はテータ角で、理論を定義するラグラジアンに現れる量であり[11]、${\displaystyle g}$ は結合定数である。例えば、電磁場を記述するヤン＝ミルズ理論では、この数値 ${\displaystyle g}$ は単に陽子に帯びている電荷 ${\displaystyle e}$ である。[12] 2つの理論のゲージ群の入れ替えに加えて、モントネン・オリーブの双対性は、複素化された結合定数 ${\displaystyle \tau }$ を持つ理論を、複素化された結合定数 ${\displaystyle -1/\tau }$ を持つ理論へ変換する。[10]

幾何学的ラングランズ対応(geometric Langlands correspondence)は、上に示した楕円曲線のような代数曲線に付随する抽象的幾何学的な対象の間の関係である。

数学では、古典的なラングランズ対応は、数論を表現論として知られている数学の分野と関連される予想と結果の集まりである。[13] ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)により1960年代遅くに、ラングランズ対応は谷山・志村予想というような数論の重要な予想と関連している。これは特別な場合としてフェルマーの最終定理を特別な場合として持っている。[13]

数論ではラングランズ対応は重要であるにも関わらず、数論の脈絡でのラングランズ対応の確立は非常に困難である。[13] 結果として、幾何学的ラングランズ対応として知られていることに関連する予想で仕事をしている数学者もいる。これは、元来のバージョンに現れる数体を函数体に置き換えることで、代数幾何学のテクニックを適用して、古典的なラングランズ対応を幾何学的に再定式化することである。[14]

2007年からのアントン・カプスティン(Anton Kapustin)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、幾何学的ラングランズ対応がモントネン・オリーブ双対性の数学的記述と見なすことができることを示した。[15] S-双対で関連付けられた 2つのヤン＝ミルズ理論から始めて、カプスティンとウィッテンは、2次元時空内の場の量子論のペアを構成することが可能であることを示した。何がこの次元簡約(dimensional reduction)がD-ブレーン(en:D-branes)と呼ばれる物理的対象となるのかを分析することにより、彼らは幾何学的ラングランズ対応の数学的な要素を再現できることを示した。[16] かれらの仕事は、ラングランズ対応が場の量子論のS-双対に密接に関連していて、双方の対象に有効に適用できることを示した。[13]

もう一つ別の場の量子論でのS-双対の実例は、サイバーグ双対性であり、1995年頃に最初にナタン・サーバーグ(Nathan Seiberg)により導入された[17]。モントネン・オリーブ双対性とは異なり、4次元の時空での最大超対称性ゲージ理論の 2つのバージョンを関係付ける。サイバーグ双対性は、より小さな超対称性を持つN=1超対称性ゲージ理論(N=1 supersymmetric gauge theories)を関連付ける。サイバーグ双対性に現れる 2つの N=1 理論は、同一ではないが、長い距離では同じ物理を生成する。モントネン・オリーブ双対性のように、サイバーグ双対性は電場と磁場を入れ替えるマックスウェル方程式の対称性を一般したものである。