4元電流密度
4元電流密度(よんげんでんりゅうみつど、英語: four-current)とは、電荷密度と電流密度を相対論的な時空における4元ベクトルとして記述したものである。
4元電流密度はローレンツ変換の下でベクトルとして変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 ρ、空間成分が電流密度 j であり
基礎方程式
の形で書かれる。
4元電流密度は電磁場の源(ソース)でありマクスウェルの方程式
を満たす。ここで F は電磁場テンソル、A は電磁ポテンシャルである。また μ0 は磁気定数である。
また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力
を受ける。
ラグランジュ形式
詳細は「古典電磁気学の共変定式#電磁気学のラグランジュ形式」を参照
物質 X と電磁場 A が相互作用する系の作用積分は
と書かれる。相互作用項 Sint は一般に
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
と表される。
微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 X の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。
古典粒子
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。 位置 Xi にある粒子が電荷 qi を帯びているとき、作用汎関数は
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
である。
「相対論的力学」も参照
脚注
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