超限数

有限自然数は少なくとも2つの目的で使われている。基数と順序数としてである。基数はひと組の量（例えば、バッグの中のビー玉5個）を示すが、順序数は、組の中の順序を示す。（例えば、「左から3番目の男」「1月27日」）[7] 。超限数に拡張すると、これら2つの概念の違いは明確になる。超限基数は無限集合のサイズの表現に使われ[2][8]、超限順序数は、順序付けられた無限集合内の位置を示すためすために使われる[7]。 最も重要な順序数と基数は次の2つである。

• ${\displaystyle \omega }$ （オメガ）: 最小の超限順序数。これは、通常の線形順序付けでの自然数の順序型でもある。
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ （アレフ・ヌル）: 最初の超限基数であり自然数の濃度でもある。選択公理が成り立つ場合、次に高い基数は ${\displaystyle \aleph _{1}}$（アレフ・ワン）である。そうでない場合は、アレフ・ワンとは比較できず、アレフ・ヌルよりも大きい他の基数が存在する可能性がある。いずれにせよ、アレフ・ヌルとアレフ・ワンの間に基数は無い。

連続体仮説とは、自然数の濃度 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ よりも大きい最小の濃度は連続体濃度（実数の集合の濃度）であり間に中間基数がない[2][9]、また同等に ${\displaystyle \aleph _{1}}$ と連続体濃度が等しいかと云う命題である。ツェルメロ＝フレンケル集合論において連続体仮説は、証明も否定もできない。

P.Suppes や J.Rubin を含む一部の著者は、超限基数という用語を使用して、「無限基数」と同等ではない可能性がある状況でのデデキント無限集合の基数を指す。つまり可算選択公理が想定されていないか、成立することが知られていない状況においてこの定義を考えると、以下はすべて同等である。

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ を超限基数とすると、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ を基数とする集合 ${\displaystyle A}$ はデデキント無限集合である。
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$ であるなら ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ は基数である。

超限順序数と無限基数はどちらも自然数のみを一般化するが、超実数や超現実数を含む他の数体系は、実数の一般化を規定する[10]。

In Cantor's theory of ordinal numbers, every integer number must have a successor.[11] The next integer after all the regular ones, that is the first infinite integer, is named ${\displaystyle \omega }$. In this context, ${\displaystyle \omega +1}$ is larger than ${\displaystyle \omega }$, and ${\displaystyle \omega .2}$, ${\displaystyle \omega ^{2}}$ and ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ are larger still. Arithmetic expressions containing ${\displaystyle \omega }$ specify an ordinal number, and can be thought of as the set of all integers up to that number. A given number generally has multiple expressions that represent it, however, there is a unique Cantor normal form that represents it,[11] essentially a finite sequence of digits that give coefficients of descending powers of ${\displaystyle \omega }$.

Not all infinite integers can be represented by a Cantor normal form however, and the first one that cannot is given by the limit ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$ and is termed ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$.[11] ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ is the smallest solution to ${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$, and the following solutions ${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$ give larger ordinals still, and can be followed until one reaches the limit ${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$, which is the first solution to ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$. This means that in order to be able to specify all transfinite integers, one must think up an infinite sequence of names: because if one were to specify a single largest integer, one would then always be able to mention its larger successor. But as noted by Cantor, even this only allows one to reach the lowest class of transfinite numbers: those whose size of sets correspond to the cardinal number ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

• 実無限
• ベート数
• イプシロン数
• 無限小

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor History of Mathematics archive.
• Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in Morse–Kelley set theory.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Grounded in ZFC.