正則性公理
正則性公理(せいそくせいこうり、英: axiom of regularity)は、別名「基礎の公理」(きそのこうり、英: axiom of foundation) とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない[1]。
ここで、Vは集合論の宇宙を指し、WFは整礎的集合全体のクラス(フォン・ノイマン宇宙)を指す。
ZF公理系内に限って話を進める。各順序数に対してを次のように定義する。
- が極限順序数のとき
クラスWFはこれらを全て集めたものとして定義される。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えばx= {x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
性質
- 任意の α∈ON に対して、
- は推移的
証明
超限帰納法による。 のときは明らかである。 に対して成り立っていると仮定する。 のとき、仮定より は推移的であり、 も推移的になる。また、。 が極限順序数のとき、仮定よりに対しては推移的であり推移的集合の和集合が推移的になることにより
も推移的になる。さらに
も同様。
WFの定義より、x∈WFのときを満たす最小の順序数は後続順序数になる。実際、を極限順序数として及びが成り立っているとすると、
となって矛盾する。
そこで、集合xのランクを次のように定義する。
x∈WFのとき、を満たす最小のを集合xのランクといい、で表す。
よって、 ならば
が成り立ち、かつとなる。また、このランクの概念を用いては次のように特徴付けられる。
及び、
のとき、
かつ
とすると
ならば だから
脚注
- Kunen 1980, p. 101, Ⅲ, §4.1
参考文献
外部リンク
- 西村敏男『集合論』 - コトバンク
- Weisstein, Eric W. "Axiom of Foundation". MathWorld (英語).