有限可換群上の調和解析
数学において有限可換群上の調和解析(ゆうげんかかんぐんじょうのちょうわかいせき、仏: analyse harmonique sur un groupe abélien fini)とは有限可換群の上で行う調和解析のこと。
調和解析において定義されるフーリエ変換や畳み込みの概念はプランシュレルの定理・パーセバルの等式・ポントリャーギン双対など多くの定理の枠組みである。群が有限で可換となる場合は理論が極めて単純となる。フーリエ変換は有限和となり、双対群はもとの群と同型になる。有限可換群上の調和解析は特に合同算術や情報理論において多くの応用がある。
背景
この記事では G は位数 g の可換群、C は複素数体、複素数 z に対して z は複素共役とする。
関数空間
群 G 上の複素関数からなる集合 CG 上において以下の構造を考える。
- 各点ごとの和とスカラー倍により集合 CG は g 次元複素線型空間となり、標準基底は (δs)s ∈ G (ただし δs はデルタ関数を表す)で与えられる。関数 f の標準基底に関する座標は f(s) であり、これを fs とも書く。
- 線型空間 CG には自然なエルミート内積が
- により定義される。このエルミート内積は線型空間 CG にエルミート空間の構造を与え、これを ℓ2(G) と書く。
- 線型空間 CG には畳み込みと呼ばれる積が
双対群
群 G から単数群 C* への準同型写像を G の指標と呼び、G の指標が各点ごとの積によりなす群 を双対群と呼ぶ。 乗法群 は加法群 G と(自然ではないが)同型となる。双対群 は線型空間 CG に含まれ、エルミート空間 ℓ2(G) の正規直交基底をなす。この事実は線型空間 CG 上のエルミート内積の選び方を正当化する。任意の有限可換群は二重双対(双対の双対)と自然同型であり、この性質を一般にポントリャーギン双対性という。
調和解析の理論
フーリエ変換
エルミート空間 ℓ2(G) に属する元 a のフーリエ変換は
により定義される関数 : → C である。フーリエ変換 : ℓ2(G) → CG は全単射であることが空間の次元比較とプランシュレルの定理からわかる。
畳み込み
フーリエ変換の定義で aχ の g 倍を選んだことにより畳み込みとの整合性が得られる。
群多元環 C[G] に属する元 a, b に対して畳み込み a * b のフーリエ変換はフーリエ変換 , の積と一致する。つまり
が成り立つ。
パーセバルの定理
全単射 : ℓ2(G) → C がエルミート空間の同型となるため線型空間 C 上のエルミート内積を (gδχ)χ ∈ が正規直交基底となるように
と定める。このエルミート内積は 上の質量 1/g のハール測度に対応し、エルミート空間 ℓ2(G) の定義で導入されたエルミート内積は G 上の質量 1 のハール測度に対応していることに注意する。ここで ℓ2() は線型空間 C に上のエルミート内積を備えたものとする。
フーリエ変換
はエルミート空間の同型である。特に
が成り立つ。