ポアソン和公式

以下の式変形によって示される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi kx}dx{\bigg )}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\underbrace {{\Bigg (}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}{\Bigg )}} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-n)dx{\bigg )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$

ここで、

• ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ は ${\displaystyle f(x)}$ のフーリエ変換
• ${\displaystyle \delta (x)}$ はデルタ関数

である。

テータ関数、リーマンゼータ関数に関連した証明に応用される。

セルバーグ跡公式は本質的に一般化となっている。

• フーリエ変換
• テータ関数
• リーマンゼータ関数
• シメオン・ドニ・ポアソン