方べきの定理
内容
円O とその円周上にない点P を取り、点P を通る2本の割線(円との共有点が2個の直線)と円O の交点を A, B と C, D とすると、(図1、図2)
が成り立つ。
また、P が円O の外側にあるとき、一方の割線が円O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、(図3)
が成り立つ。
証明
P が円O の内側にある場合 | 左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから
このことにより、二角相等で
よって
ゆえに
| |
P が円O の外側にある場合 | 左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、
二角相等で
よって
ゆえに
| |
一方の割線が接線になる場合 | 左の図において、接弦定理により、
また、共通の角で
二角相等で
よって
ゆえに
|
脚注
- “Power of a Point Theorem”. 数学も英語も強くなる! 意外な数学英語 Unexpected Math English. 2021年1月26日閲覧。
参考文献
- H.S.M.コクセター 著、銀林浩 訳『幾何学入門』 (上)、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2009年9月10日、161-165頁。ISBN 978-4-480-09241-0。
外部リンク
- 『方べきの定理』 - コトバンク
- 『方べきの定理の意味と2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
- 方べきの定理まとめ(証明・逆の証明) - 理系ラボ
- 方べきの定理とその逆の証明 - 高校数学マスター
- Weisstein, Eric W. "Circle Power". MathWorld (英語).
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