圏 (数学)

圏の定義にはいくつか同値なものが存在する[2]が、よく用いられるものの一つを以下に示す。 圏 C は以下のものからなる:

• 対象の類 ob(C)
• 対象の間の射の類 hom(C)
  • 各射 f ∈ hom(C) には始域と呼ばれる対象 a ∈ ob(C) および終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
  • a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は a から b への射全体の成す類を言う。

このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f が存在して以下の公理を満足する:

• 結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。
• 単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 id_x = 1_x: x → x が存在して、任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1_x ∘ f = f and g ∘ 1_x = g を満たす。

これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。

記法についての注意

• 一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 C, D, … や、ラテン大文字のカリグラフ体 𝒞, 𝒟, ℰ, … などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語（の省略形）を用いて同様の仕方であらわす。例えば集合の圏 Set, 𝒮ℯ𝓉 や体の圏 Field, ℱ𝒾ℯ𝓁𝒹, 位相空間の圏 Top, 𝒯ℴ𝓅, 束の圏 Bdl, ℬ𝒹𝓁 のような具合である。
• 圏 C の射の類 hom(C) は mor(C) や arr(C) などとも書く。同様に対象 a, b ∈ ob(C) に対する射の類も mor(a, b) や arr(a, b) などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、hom_C(a, b) や mor_C(a, b) のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 C の対象の類を |C| で表し、射の類を記号の濫用だが C で表す（この場合 a から b への射の類は単に C(a, b) と書く）。
• 射の合成を g ∘ f で（あるいは単に併置 gf で）表すのは写像とその合成の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で f;g や fg と書くものもある[注釈 1]。

圏の大きさ

圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。

文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。

以下は圏の例である。Borceux (1994, Examples 1.2.5, Examples 1.2.6)参照。

• Etale_K - 体 K 上のエタール代数を対象とし、K-代数としての準同型を射とする。
• コボルディズムは圏と見なせる。

以下では特に断らない限り C を圏、X や Y をその対象、その間の射を ƒ : X → Y とする。Weibel (1994, A.1 Categories)参照。

圏の構成法

• 双対圏 C^op - obj(C^op) = obj(C), Hom_C^op(X, Y) = Hom_C(Y, X) である圏 C^op
• 部分圏 D - obj(D) ⊂ obj(C) であって、任意の対象 X, Y ∈ D に対して Hom_D(X, Y) ⊂ Hom_C(X, Y) となる圏 D
• 充満部分圏 D - 圏 C の部分圏であって、任意の対象 X, Y ∈ D に対して Hom_D(X, Y) = Hom_C(X, Y) となる圏 D

対象の種類

• 始対象 I - 任意の対象 Y に対して #Hom_C(I, Y) = 1 である対象 I
• 終対象 T - 任意の対象 X に対して #Hom_C(X, T) = 1 である対象 T
• 零対象 0 - 始対象かつ終対象である対象0

射の種類

• 単射 ƒ : X → Y - 任意の対象 Z と射 g, h : Z → X に対して g ≠ h ⇒ ƒg ≠ ƒh である射 ƒ
• 全射 ƒ : X → Y - 任意の対象 Z と射 g, h : Y → Z に対して g ≠ h ⇒ gƒ ≠ hƒ である射 ƒ
• 全単射 ƒ : X → Y - 単射かつ全射である射 ƒ
• 同型射 ƒ : X → Y - gƒ = id_X かつ ƒg = id_Y となる射 g : Y → X がある射 ƒ
• 逆射 ƒ⁻¹ : Y → X - 同型射の定義における射 g

以下では圏 C は零対象0をもつとする。

• 零射 0 : X → Y - 射 X → 0 と 0 → Y の合成
• 核 i : W → X - より正確には、射 f : X → Y の核とは ƒi = 0 であって、ƒu = 0 を満たす任意の射 u : U → X に対して u = i v となる射 v : U → W が一意に存在する射 i
• 余核 p : Y → Z - より正確には、射 f : X → Y の余核とは pƒ = 0 であって、uƒ = 0 を満たす任意の射 u : Y → U に対して u = v p となる射 v : Z → U が一意に存在する射 p

2 つの圏 C, D があったとき、

• C の対象 X に対し D の対象 F(X) を与える
• 射 f : X → Y に対し射 F(f) : F(X) → F(Y) を与える

という対応 F で射の合成や恒等射を保つものは（共変 (covariant)）関手 F とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は C から D への反変関手 (contravariant functor) とよばれる。C から D への反変関手を考えるということは C の双対圏 C^op から D への共変関手を考えるということと同じになる。

自然変換 (natural transformation) は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型 (natural isomorphism) にて表現される。 2 つの関手 F, G に対し、F から G への自然変換が存在して η_x が C に含まれる全ての対象 x に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型 (naturally isomorphic) であるという。

• 前加法圏 / 加法圏 / アーベル圏
• 完備圏
• モノイド閉圏 / デカルト閉圏
• トポス

圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、「二次元の圏」である双圏（bicategory) もしくは 2-圏 (2-category)[注釈 2] は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(2-cell) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」(exchange law) が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である—これは(狭義)モノイド圏である。

この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of n-categoriesが挙げられる。

(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 C_O と同一視することができる：obj(C_O) = O とし、p, q ∈ O = obj(C_O) について p ≤ q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として C_O における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。

G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。

これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。

1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。

その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。

• カテゴリ - アリストテレスやカントが論じた「範疇」が圏の名称（どちらも 英: category）の由来となっている[1]。

• Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001. https://books.google.com/books?id=IK_sIDI2TCwC
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (revised ed.), MR2178101, http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html.
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory.. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1. Zbl 0803.18001. https://books.google.com/books?id=YfzImoopB-IC
• Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Zbl 0797.18001. https://books.google.com/books?id=flm-dBXfZ_gC

• category in nLab
• Weisstein, Eric W. "Category". MathWorld (英語).
• category - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Category", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。