サイクロイド

サイクロイド（英語: cycloid）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線（はいせん）とも呼ばれる。サイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。

サイクロイドの図示

サイクロイド

サイクロイド (

r m = 1

,

- π \leq θ \leq 2 π

)

定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという（→生成アニメーション）。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。

動円の半径を $r m$ , 回転角を $θ$ とすると、サイクロイドの媒介変数表示は

{\begin{cases}x=r_{\mathrm {m} }(\theta -\sin \theta ),\\y=r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta ).\end{cases}}

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y/\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x/\mathrm {d} \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta )^{2}}}$
"円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを $l$ とすると、 $l = 8 r m$ （= "直径" の 4倍）
"円が1回転したときの定点の軌跡" と " $x$ -軸" で囲まれた部分の面積を $S$ とすると、 $S = 3 π r m 2$ （= "円の面積" の 3倍）
x軸まわりの回転体の体積を $V x$ とすると、 $V x = 5 π 2 r m 3$
x軸まわりの回転体の表面積を $S x$ とすると、 $Sx = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}64/3πrm2$

サイクロイドの微分方程式は

\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}={\frac {2r_{\mathrm {m} }}{y}}-1.

外サイクロイド

外サイクロイド
(r_c = 1, r_m = 1/3（マゼンタ）, 1/2（黄）, 1（緑）, 2（赤）, 3（青）)

定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド（がい-）という（→生成アニメーション）。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線（がいはいせん）とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。

定円の半径を $r c$ , 動円の半径を $r m$ , 回転角を $θ$ とすると、外サイクロイドの媒介変数表示は

{\begin{cases}x=(r_{\mathrm {c} }+r_{\mathrm {m} })\cos \theta -r_{m}\cos \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }+r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right),\\[2ex]y=(r_{\mathrm {c} }+r_{\mathrm {m} })\sin \theta -r_{\mathrm {m} }\sin \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }+r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right).\end{cases}}

定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときネフロイドとなる。

内サイクロイド

内サイクロイド
(r_c = 1, r_m = 1/2（黄）, 1/3（緑）, 1/4（赤）, 1/5（青）)

定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド（ない-）という（→生成アニメーション）。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線（ないはいせん）とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。

定円の半径を $r c$ 、動円の半径を $r m$ 、回転角を $θ$ 、ただし $r c > r m > 0$ とすると、内サイクロイドの媒介変数表示は

{\begin{cases}x=(r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} })\cos \theta +r_{\mathrm {m} }\cos \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right),\\[2ex]y=(r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} })\sin \theta -r_{\mathrm {m} }\sin \left({\dfrac {r_{\mathrm {c} }-r_{\mathrm {m} }}{r_{\mathrm {m} }}}\theta \right).\end{cases}}

定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径、3:1のときデルトイド、4:1 のときアステロイドとなる。

応用分野

サイクロイド歯車
サイクロイド振り子 - 任意振幅に対して等時性を担保する振り子

外部リンク

『サイクロイド』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Cycloid". MathWorld (英語).
Cycloids at cut-the-knot
A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
“Cicloides y Trocoides”. 2009年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年7月8日閲覧。
Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, en:Wolfram Demonstrations Project.

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