ワイエルシュトラス関数

ワイエルシュトラスのオリジナル論文において、この関数は次のように定義される。

${\displaystyle w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x).}$

ここで、0 < a < 1, b は正の奇数整数。また、

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

この定義は、微分不可能であることの証明とともに、1872年7月18日にプロイセン科学アカデミー (Königliche Akademie der Wissenschaften) へ提出された。

ハウスドルフ次元は次のとおりとなる[1]。

${\displaystyle D_{H}=2+{\frac {\log {a}}{\log {b}}}}$

ワイエルシュトラス関数では和をn ≥ 0 についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。

${\displaystyle {\begin{aligned}w(bx)&=b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}\\&=b^{-1}\sum _{n=-1}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}-b^{-1}b^{0}\cos(b^{0}\pi x)\\&=b^{-1}\left[w(x)-\cos \pi x\right]\\&\neq b^{-1}w(x)\end{aligned}}}$

したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。

ワイエルシュトラス関数のリプシッツ定数は無限大。

${\displaystyle W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(1-e^{i\gamma ^{n}t})e^{i\phi _{n}}}{\gamma ^{(2-D)n}}}}$,

ここで、 1 < D < 2, γ > 1 である。

これは、φ = 0として実部をとるとワイエルシュトラス関数となる。

${\displaystyle \operatorname {Re} W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}t)}{\gamma ^{(2-D)n}}}}$

ハウスドルフ次元は D と考えられているが厳密な証明はなされていない。

ただし、φ_n = μn、不変となるものを離散的スケール不変性(DSI, Discrete Scale Invariance)という。

• アンサンブル平均はゼロ ${\displaystyle \langle W(t+\tau )-W(t)\rangle _{e}=0}$
• 分散はγについてのみスケール不変となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\tau )&=\langle W(t+\tau )-W(t)\rangle _{e}=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}\tau )}{\gamma ^{(4-2D)n}}},\\V(\gamma \tau )&=\gamma ^{4-2D}V(\tau )\end{aligned}}}$

パワースペクトルはおおよそ次の近似式で表すことができる。

${\displaystyle S(\omega )\approx {\frac {1}{\omega ^{5-2D}\log {\gamma }}}}$

すなわち、D → 2 のとき1/fゆらぎに近づく。