ラプラス作用素

拡散の物理理論において、ラプラス作用素は（ラプラス方程式を通じて）平衡の数学的記述に自然に現れる[2]。具体的に、u が化学濃度のような適当な量の平衡密度であるとき、u の滑らかな境界を持つ領域 V を通る流束が、V に流入も漏出も無いとすれば、0 であるから

${\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=0}$

と書ける。ただし、${\textstyle {\boldsymbol {n}}}$は領域 V の境界に対して外側を向く単位法ベクトルである。発散定理により

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=0}$

は領域 V が滑らかな境界を持つ限りにおいて成り立つから、これにより

${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0}$

が導かれる。方程式の左辺はラプラス作用素である。ラプラス作用素それ自身は拡散方程式によって記述されるような、化学濃度の流入や漏出を表す点を含む非平衡拡散に対する物理的解釈を持つ。

φ が電荷分布 q に付随した電位を記述するものとすると、電荷分布自身は φ のラプラシアンとして

${\displaystyle q=\Delta \varphi }$

(1)

で与えられる。これはガウスの法則の帰結である。実際、V が任意の滑らかな領域ならば、電場 ${\textstyle {\boldsymbol {E}}}$ の電束に関するガウスの法則により、（単位当たりの）電荷は

${\displaystyle \int _{\partial V}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{\partial V}\nabla \varphi \cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{V}q\,dV}$

になる。ただし、最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。発散定理により、

${\displaystyle \int _{V}\Delta \varphi \,dV=\int _{V}q\,dV}$

が成り立ち、これは任意の領域 V に対して成り立つことから (1) を得る。

同じ説明によって、重力ポテンシャルのラプラシアンが質量分布となることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、ポワソン方程式を解くことに同じである。

物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域 U における方程式 ∆f = 0 の解はディリクレエネルギー汎函数を停留させる函数

${\displaystyle E(f):={\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\,dx}$

となることである。これを見るために f: U → R は函数で、函数 u: U → R は U の境界上で消えていると仮定する。このとき

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Bigg |}_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\Delta f\,dx}$

が成り立つ（ただし、最後の等号はグリーンの第一恒等式を用いた）。この計算により、∆f = 0 ならば E は f の周りで停留する。逆に E が f の周りで停留するならば変分法の基本補題 により ∆f = 0 である。

二次元のラプラス作用素は x, y を xy-平面上の標準直交座標として

${\displaystyle \Delta f:={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

で与えられる。

極座標

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}\\&={1 \over r}{\partial f \over \partial r}+{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.\end{aligned}}}$

三次元では様々な座標系がラプラシアンを記述するために広く用いられる。

直交座標系

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

円筒座標系

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

球面座標系

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$

一般の曲線座標系 ${\displaystyle (\xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3})}$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\partial ^{2} \over \partial \xi ^{m}\partial \xi ^{n}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\partial \over \partial \xi ^{m}},}$

ここでアインシュタインの和の規約を用いた。

N 次元球座標系において、r を正の実数をとる半径、θ は単位球面 S^N−1 の元として、パラメータ表示 x = rθ ∈ R^N をすれば

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$

と書ける。ただし、∆_S^N−1 は球ラプラシアンとも呼ばれる (N−1)-次元球面上のラプラス＝ベルトラミ作用素である。二つの球対称微分項は

${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}}$

と書いても同じことである。一つの帰結として、S^N−1 ⊂ R^N 上で定義される函数の球ラプラシアンは ${\textstyle \mathbf {R} ^{N}\backslash \{0\}}$ へ延長した函数の通常のラプラシアンとして計算することができて、それは半直線に沿って定数（つまり、斉零次の斉次函数）になる。

ラプラス作用素の概念は、リーマン多様体上で定義されたラプラス＝ベルトラミ作用素と呼ばれる楕円型作用素に一般化することができる。同様にダランベール作用素は擬リーマン多様体上の双曲型作用素に一般化される。ラプラス＝ベルトラミ作用素を函数に適用すれば、その函数のヘッセ行列のトレース

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} (H(f))}$

が得られる。ただし、トレースは計量テンソルの逆に関して取るものとする。ラプラス＝ベルトラミ作用素を同様の式でテンソル場に作用する作用素（これもまたラプラス＝ベルトラミ作用素と呼ばれる）に一般化することができる。

ラプラス作用素の別な一般化として、擬リーマン多様体上で定義される外微分を用いた「幾何学者のラプラシアン」と呼ばれる

${\displaystyle \Delta f=d^{*}df}$

を考えることもできる。ここで d^∗は余微分で、ホッジ双対を使って書くこともできる。これが上に述べた「解析学者のラプラシアン」とは異なるものであることには注意すべきである。そのことは大域解析学の論文を読むときには常に気を付けねばならない。 より一般に、微分形式に対して定義される「ホッジ」ラプラシアン α は

${\displaystyle \Delta \alpha =d^{*}d\alpha +dd^{*}\alpha }$

と書ける。これはまたラプラス＝ドラーム作用素とも呼ばれ、ヴァイツェンベック不等式によってラプラス＝ベルトラミ作用素と関係する。

ラプラシアンを適当な仕方によって非ユークリッド空間に一般化することができて、それには楕円型、双曲型、超双曲型などが可能である。

ミンコフスキー空間におけるラプラス＝ベルトラミ作用素はダランベール作用素

${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$

となる。これは考える空間上の等長変換群のもとで不変な微分作用素であるという意味においてラプラス作用素の一般化となるものであり、時間不変函数へ制限する限りにおいてはラプラス作用素に帰着される。ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意（高エネルギー粒子物理学ではこう仮定するのが普通）。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるという理由で波動作用素と呼ばれることもある。これはまたクライン＝ゴルドン方程式（質量の無い場合には波動方程式に帰着される）の成分でもある。

計量における余分な因子 c は、物理学において空間と時間を異なる単位で測っている場合に必要となるものである（例えば同様のことは x-方向をメートルで y-方向をセンチメートルで測ったりするような場合にも出てくる）。実際、理論物理学では方程式を簡単にする目的で、自然単位系などの単位系のもと c = 1 として扱うのがふつうである。