マルコフの不等式
マルコフの不等式(マルコフのふとうしき、英: Markov's inequality)は、確率論で、確率変数の非負値関数の値が、ある正の定数以上になる確率の上限を与える不等式である。アンドレイ・マルコフが証明した。
定式化
マルコフの不等式は、測度論的には、(X, Σ, μ) を測度空間とし、f を拡張実数値(無限大もとりうる)可測関数とし、t > 0 とすれば、
であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合(つまり確率空間である)には、次のように言い換えられる:
X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、
確率論における証明
測度空間が確率空間である場合は証明が単純で分かりやすいので、この場合の証明をまず別に示そう。
任意の事象 E に対して、IE を E の特性確率変数、つまり E が起きるならば IE = 1、そうでないならば = 0 であるとする。すると、事象 X ≥ a が起きるならば I(X ≥ a) = 1 であり、X < a ならば I(X ≥ a) = 0 である。そこで
ゆえに
ここでこの不等式の左辺は
と同じであることが解る。従って
となり、 a > 0 だから、両辺を a で割ればよい。
一般的証明
任意の可測集合 A に対して、1A をその特性関数、つまり x ∈ A ならば 1A(x) = 1 、そうでなければ 0 としよう。At を At = {x ∈ X| |f(x)| ≥ t} として定義すれば、
となり、ゆえに
ここで、この不等式の左辺は
と同じであることに注意しよう。すると
であり、また t > 0 であるから、両辺を t で割れば
となる。
応用例
関連項目
- チェビシェフの不等式
- Hoeffding(へフディング)の不等式
外部リンク
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