ベータ関数

ベータ関数は次のような対称性を持つ.

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x).}$

置換積分による計算を行う. ${\displaystyle u=1-t}$ とおくと, ${\displaystyle {\rm {d}}t=-{\rm {d}}u}$ であり, また積分区間は ${\displaystyle t\colon 0\to 1}$ から ${\displaystyle u\colon 1\to 0}$ へと変化するから,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,\,y)&=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t\\&=-\int _{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}\,{\rm {d}}t\\&=\mathrm {B} (y,\,x).\end{aligned}}}$

したがって, ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x)}$ が示された.

ベータ関数は次の関係式を満たす.

• ${\displaystyle x\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x+1,\,y).}$

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (x+1,\,y)+\mathrm {B} (x,\,y+1).}$

• ${\displaystyle (x+y)\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x,\,y).}$

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right).}$

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\,\mathrm {B} (x+y,\,z)=\mathrm {B} (y,\,z)\,\mathrm {B} (y+z,\,x)=\mathrm {B} (z,\,x)\,\mathrm {B} (z+x,\,y).}$

変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は ${\displaystyle \Re (x)>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$ である。

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,{\rm {d}}\theta .}$

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t.}$

• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.}$

${\displaystyle \log(\zeta (\zeta -1))}$ のリーマン面上の積分路として, 実軸上の ${\displaystyle (0,\,1)}$ 内の点から出発し, ${\displaystyle 1}$ を正の向きに, ${\displaystyle 0}$ を正の向きに, ${\displaystyle 1}$ を負の向きに, ${\displaystyle 0}$ を負の向きの順で回って, 元の点に戻るポッホハマーの積分路を取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ.

${\displaystyle \left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\mathrm {B} (x,\,y)=\int _{C}\zeta ^{x-1}(1-\zeta )^{y-1}\,{\rm {d}}\zeta .}$

ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く.

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{\underline {n+1}}}{n!(x+n)}}.}$

ただし, ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ は下降階乗冪:

${\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1),}$

である.

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {x+y}{xy}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$

スターリングの公式より, 複素数${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ の実部が十分大きな正の値であるとき,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}\,y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}}.}$

一方, ${\displaystyle x}$ が十分大きく ${\displaystyle y}$ が固定されているとき,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim \mathrm {\Gamma } (y)\,x^{-y}.}$

複素数 ${\displaystyle x}$ に対して, 以下が成り立つ.

• ${\displaystyle \mathrm {B} (1,\,x)={\frac {1}{x}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,\,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\qquad (x\notin \mathbb {Z} ).}$
• ${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right)={\frac {2^{2x-1}\{\Gamma (x)\}^{2}}{\Gamma (2x)}}.}$

特に, ${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)=\pi .}$

非負の整数 ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ に対して, 以下が成り立つ.

• ${\displaystyle \mathrm {B} (l+1,\,m+1)={\frac {l!\,m!}{(l+m+1)!}}={\frac {1}{(l+m+1){\dbinom {l+m}{m}}}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+1\right)={\frac {2^{2m+1}\,(2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!}}={\frac {2\,(2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}}.}$
• ${\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi \,(2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\,l!\,m!\,(l+m)!}}={\frac {\pi \,(2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}}.}$