プランク長

質量 ${\displaystyle m}$、光速度を ${\displaystyle c}$、万有引力定数を ${\displaystyle G}$ とすると、そのシュワルツシルト半径 ${\displaystyle r_{s}}$ は、

${\displaystyle r_{s}={2Gm \over c^{2}},}$

と表される。一方、質量 ${\displaystyle m}$ のコンプトン波長 ${\displaystyle \lambda _{c}}$ はプランク定数 ${\displaystyle h}$ を使って

${\displaystyle \lambda _{c}={h \over mc},}$

と表される。定義 ${\displaystyle r_{S}={\lambda _{C} \over \pi }}$ となるときの質量（プランク質量）を ${\displaystyle m_{P}}$ で表すと、

${\displaystyle r_{S}={2Gm_{P} \over c^{2}}={h \over {\pi m_{P}}c}={2\hbar \over {m_{P}}c},}$

ここで、${\displaystyle \hbar ={h \over {2\pi }}}$ （＝ディラック定数）である。すると、プランク質量 ${\displaystyle m_{P}}$、プランク質量でのシュワルツシルト半径 ${\displaystyle r_{S}}$ はそれぞれ、

${\displaystyle m_{P}={\sqrt {\hbar c \over G}},r_{S}=2{\sqrt {\hbar G \over c^{3}}},}$

となる。このときのコンプトン波長で

${\displaystyle \lambda _{C}=2{\pi }{\ell _{P}},}$

となる ${\displaystyle \ell _{P}}$ をプランク長といい、

${\displaystyle r_{S}=2{\ell _{P}},}$

の関係がある。すなわち、プランク長の値は

${\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {\hbar G \over c^{3}}}\thickapprox 1.616\ 229(38)\times 10^{-35}\,{\mbox{m}}.}$

となる[1]。

この単位は自然単位による計測系を作ろうとしていたマックス・プランクによって作られた[2]。プランク長はプランク質量に基づくものである。この単位が提唱されたときには量子力学や一般相対性理論は知られていなかったが、後に、プランク長の距離では重力が量子力学の影響を示すことが明らかとなった。そしてこの事から、重力が重力子によって媒介されていると言う重力相互作用の理論が予測された。

観測可能な宇宙の推定の大きさ（共動距離：直径 930億光年 = 8.798×10²⁶ m）は、5.444×10⁶¹ プランク長である。量子カオス系においてはプランク長よりも小さいスケールが現れることがある。大きさがないといわれている素粒子のシュワルツシルト半径はプランク長以下であるが、プランク長以下の長さが存在するか否かは判明していないことなどから実際に素粒子がシュワルツシルト半径を形成しているかどうかは定かではない。