シュタイナーの内接楕円

シュタイナーの内接楕円の座標は三線座標によって以下のように表される[1]。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

重心座標では以下のようになる。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx=0}$

シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である[1][5]。重心を中心とする唯一の内接楕円である[5]^:p.142。

シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$倍である[5]^:p.146 [6]^{:Corollary 4.2}。 これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。

三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである[5]。

シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。

シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される[1]。

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

この式の　Z は以下の式で与えられる。

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

3つの頂点の座標を複素数で表して、その3つの値で0になる3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点はその3次式の導関数を0にする値が表す点となる[3]。

長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある[6]^{:Corollary 2.4} 。

G, F₊, F₋ を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F₊GF₋の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF₋| ± |GF₊| という式で表される[7]^{:Thm. 1}。

シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。この放物線は、3辺とオイラー線とも接する[7]^{:Thm. 3}。

シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある[8]。

三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ[9]。

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$