オイラー線
オイラー線(オイラーせん、英: Euler line )は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している[1]。オイラー線は正三角形以外の全ての三角形に対して定義できる。三角形におけるオイラー線の概念は、四角形や三角錐などの図形にも拡張されている。
概要
上の図の三角形において、
- 青の線の交点が垂心 H
- 橙色の線の交点が重心 G
- 緑の線の交点が外心 O
- 二点 O, H の中点が九点円の中心
これらの点を通る赤い線がオイラー線である。 重心 G は線分 OH を 1 : 2 の比率に内分する。 すなわち、外心 O ・重心 G ・垂心 H の間には常に、 の関係が成り立っている。
直線の存在の証明
この3点が同一直線上にあることを証明する方法を何通りか挙げる。
- 解析的方法
- 三角形を座標平面上に置き、3点の座標を求めて同一直線上にあることを示す。
- ベクトルを使用する方法
- 等を利用する。
- 三線座標・重心座標を用いる方法
- 外心・重心・垂心を上記の座標で表し、その行列式が 0 になることを示す。
線上の特殊な点
オイラー線上にある外心・重心・垂心以外の重要な点をいくつか挙げる。
特殊な三角形のオイラー線
その他の性質
点Pに対し、3つの三角形 PAB, PBC, PCA のオイラー線が1点で交わる条件は、「Pが外接円上かノイベルグ3次曲線上にある」である[3]。これは、フランク・モーリーとその息子によって証明された。以下に主な点と簡単な証明を示す。
拡張
3次元以上の単体においても重心は存在する。また、すべての頂点を通る外接球が存在するためその中心である外心も存在する。よって、この2点を通る直線が定義可能である。
四面体におけるオイラー線は、外心・重心とモンジュ点を通る。四面体に垂心が存在する場合はモンジュ点と一致するため、これもオイラー線上にある。
脚注
- Euler, Leonhard (1767), “Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum(いくつかの幾何学の難問に関する簡単な解法)”, Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae 11: 103–123, Eneström Index E325 (PDF) 。注釈:『オイラー全集』(Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR0061061)に再録。要約と本文の画像が オイラーアーカイブ E325 にある。
- “三角形の垂心と外心、重心が1直線上にあることを示せ。”. 学習塾 ソアラ (2016年10月3日). 2020年7月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年7月19日閲覧。
- Weisstein, Eric W. "Neuberg Cubic". MathWorld (英語).
関連項目
外部リンク
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.