連続の方程式
連続の方程式(れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。
保存則と密接に関わっている。
広義の連続の方程式の導出
広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という[1]。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。
q についての連続の式は、
- 領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量(流量) J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。
と表現できる。
ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、
と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。
これにより連続の式は
となる。
ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
となるので、微分形
が得られる。
特に、湧き出しがないときの連続の式
を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。
流体における連続の式
質量保存則
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は
となる[2]。
質量保存則から連続の式は
となる。
輸送定理による導出
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける[1]。
ここで、 は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。
これより、
が成立する。
この式は、実質微分の定義
と公式
を使って、
と等価であることがわかる。
電磁気学における連続の方程式
変位電流
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、
となり、ガウスの式
を代入することで連続の式が得られる。
四元電流
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を
と表す。ここで c は光速である。微分演算子
を定義すると、連続の式は
と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。
拡散方程式
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える[5]。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は
と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
が得られる。