裾の重い分布

本記事冒頭部に日本語で記載されている定義を数学的に表すと以下のようになる。

確率変数 X の累積確率分布関数 F を

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

と書いたとき、以下を満たす確率分布は(右)裾の重い分布(ヘヴィーテイル)である。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{\lambda x}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }}\lambda >0.\,}$

裾の重い分布の中でも裾の分布がべき乗則にしたがって減衰する分布をファットテールと呼ぶことが多い。

確率変数 X がすべての t > 0 について以下を満たす確率分布はロングテールである。

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t|X>x]=1,\,}$

これは累積確率分布関数を F として以下と同じである。

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

簡単にいえば、x → ∞ ではほとんど減衰しない裾を持つ分布である。

• パレート分布
• 対数正規分布
• レヴィ分布
• 形状パラメータが 1未満のワイブル分布
• en:Burr distribution
• en:log-gamma distribution
• en:log-Cauchy distribution

• コーシー分布
• 正規分布を除いた安定分布[2]
• t分布
• skew lognormal cascade distribution [3]

• 裾指数推定のためのC言語ツール[4]