稠密に定義された作用素

ある位相ベクトル空間 X から別の位相ベクトル空間 Y への線形作用素 T が稠密に定義されているとは、T の定義域が X の稠密部分集合であり、値域が Y に含まれていることを言う。

• 単位区間 [0, 1] 上で定義される実数値連続関数からなる空間 C⁰([0, 1]; R) を考える。C¹([0, 1]; R) を連続的微分可能な関数からなるその部分空間とする。上限ノルム ||·||_∞ を空間 C⁰([0, 1]; R) に備えることで、その空間は実バナッハ空間となる。D を微分作用素

${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)\,}$

としたとき、これは C⁰([0, 1]; R) からそれ自身への稠密に定義された作用素で、その定義域は稠密な部分空間 C¹([0, 1]; R) である。そのような作用素 D は非有界作用素の例であることにも注意されたい。実際

${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\,}$

に対して

${\displaystyle {\frac {\|\mathrm {D} u_{n}\|_{\infty }}{\|u_{n}\|_{\infty }}}=n}$

が成立するため、D は非有界作用素である。この非有界性は、作用素 D を何らかの連続的な方法で C⁰([0, 1]; R) へと拡張しようとする際に、困難をもたらす。

• 一方、ペイリー-ウィナー積分は稠密に定義された作用素の連続的な拡張の例である。任意の抽象的ウィナー空間 i : H → E とその共役 j = i^∗ : E^∗ → H において、j(E^∗) から L²(E, γ; R) への自然な連続線形作用素（実際それは包含（inclusion）で等長）が存在し、j(f) ∈ j(E^∗) ⊆ H は L²(E, γ; R) における f の同値類 (equivalence class)  [f] へと向かう。j(E^∗) が H において稠密であることを示すことは難しくない。上述のような包含は連続であるため、j(E^∗) → L²(E, γ; R) の H 全体への連続線型拡張 I : H → L²(E, γ; R) が唯一つ存在する。この拡張がペイリー-ウィナー写像である。

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR2028503