環上の多元環

R を可換環とするとき、R 上の多元環 (R-algebra) とは、R-加群 A であって、A の乗法と呼ばれる双線型な二項演算

${\displaystyle [\bullet ,\,\bullet ]\colon A\times A\to A}$

を備えたものを言う。即ち A の乗法は任意のスカラー a, b ∈ R と任意の元 x, y, z ∈ A について

• 双線型性:${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

を満たす。

多元環 A が A の乗法に関して（単位的）半群を成す、つまり乗法が結合的（かつ単位元を持つ）ならば、R-多元環 A は R-結合多元環と言う。即ち、結合多元環は、それ自体が（環上の）環を成し、環の概念を一般化するものである。R 上の結合多元環を、環準同型 f: R → A が存在して f の像が A の中心に含まれるような環 A として定義することもできる。

• 結合多元環
• 可換多元環
• リー環
• 半環

例として:

• 分解型双四元数

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC