特異値
定義
以下、
- 行列 A の随伴行列を A*
- 行列 A の固有値を λi(A)
- 行列 A の特異値を σi(A)
と表記する。
冒頭部の定義を数学記号で書くと次のようになる。
特異値は m × n の行列に対して定義される(固有値は n × n の正方行列でのみ定義される)。
行列 AA* の性質
よって、
- すべての固有値 λ(AA*) および λ(A*A) は非負の実数 λ ≥ 0 となる。
- 半正定値平方根行列がただひとつだけ存在する。
特異値の性質
注意事項: 行列式やトレースなどは正方行列に対して定義されるので m × n の行列 A に直接適用してはならない。
- 特異値 σ(A) はすべて非負の実数 σ(A) ≥ 0
- [注釈 1]
- 行列 A が m = n の正規行列の場合には以下が成り立つ。
- 特異値は固有値の絶対値に等しい。
- 行列 A が m = n の半正定値対称行列の場合には以下が成り立つ。
- 特異値は固有値に等しい。
- の特異値をとして、
と並べるとき、Banach代数の分野で知られた公式(Gelfand, 1941)[2]:
の一般化として、
脚注
出典
- Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber 2007, pp. 33–34.
- 山本 2003.
- Yamamoto, T. (1967). On the extreme values of the roots of matrices. Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(2), 173-178.
- Davis, C. (1970). On a theorem of Yamamoto. Numerische Mathematik, 14(3), 297-298.
参考文献
- 山本, 哲朗『数値解析入門』(増訂版)サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。
- Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber (Mar 1, 2007), Numerical Linear Algebra, Texts in Applied Mathematics, 55, Springer, pp. 271, doi:10.1007/978-0-387-68918-0, ISBN 978-0-387-68918-0
- Mandan Lal Mehta (Nov. 2004), Random Matrices (first edition 2004 ed.), Elsevier ltd., p. 284, ISBN 0-12-088409-7
- [CHAFAÏ] (2009年11月). “SINGULAR VALUES OF RANDOM MATRICES” (pdf). p. 2. 2013年3月4日閲覧。
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