公倍数

二つの整数${\displaystyle m,\ n}$の公倍数とは、${\displaystyle m}$の倍数全体の集合${\displaystyle m\mathbb {Z} =\{mk|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$、${\displaystyle n}$の倍数全体の集合${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nk|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$の集合の共通部分${\displaystyle m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} }$に属する整数のことである。

${\displaystyle m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} }$はある整数${\displaystyle c}$を用いて${\displaystyle c\mathbb {Z} =\{ck|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$の形に表すことができる。このような${\displaystyle c}$は正と負の2つが存在し、正の方を${\displaystyle m}$と${\displaystyle n}$の最小公倍数という。これらの概念は${\displaystyle m,\ n}$が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。

この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。

• 最小公倍数
• 公約数