リーマン和

例えば、${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ のとき

等差数列 ${\displaystyle x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

となる[6]。

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}$

となる。

等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、 ${\displaystyle n\to \infty }$ での極限ではいずれも。

${\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx={\frac {7}{3}}}$

${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ のとき

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

となる[7]が、 ${\displaystyle n\to \infty }$ での極限をとると、

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

となる。 他方、 逆微分より

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\ln 2}$

であるから、

${\displaystyle \ln 2=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

が得られる。