メルテンスの定理
メルテンスの定理(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、1874年にフランツ・メルテンスにより証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
定理
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数という。
第一定理の証明
素数 p が n の階乗 を割り切る回数を とおくと ルジャンドルの公式 より
であるから
が成り立つ。よって
となるから
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
が成り立ち、階乗の増大度について、
がすぐわかる(スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる)から
となる定数 が存在する。一方
となる定数 が存在することは
が収束することからわかる。
第三定理の証明
収束性は
および
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が であることの証明は概略のみ述べる。
とおく( g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる)。アーベルの総和公式を用いて
が得られる。ここで とおくとオイラーの定数の積分表示から
となる。これと第二定理を用いて
が示せる。 より
つまり
である。再び第二定理を用いて
が得られ、第三定理が示される。
参考文献
- Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001
- Apostol, Tom A. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4. MR0434929. Zbl 0335.10001
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