テニスラケットの定理

古典力学におけるテニスラケットの定理（テニスラケットのていり、英: tennis racket theorem）または中間軸の定理とは、3つの異なった主慣性モーメントを持つ剛体の運動に関する結果の一つである。この定理に基づく現象を1985年に宇宙空間で再発見した[1]ロシア人宇宙飛行士ウラジーミル・ジャニベコフにちなんでジャニベコフ効果と呼ばれることもある。ただし、この効果自体は少なくとも150年以上前には知られており[2]、現代の古典力学の教科書にも詳述されている[3][4]ので、ジャニベコフも既に知っていたと思われる。この効果を説明する論文が1991年に出ている[5]。

テニスラケットの慣性主軸

定理の内容は次の通りである。主慣性モーメントが大きい方から慣性主軸を並べると、『剛体の第1，第3の慣性主軸のまわりの回転は安定しているが、第2の慣性主軸（中間軸）のまわりの回転は不安定である。』

このことは次のような実験で確かめられる。面（ラケットフェイス）を水平にしてテニスラケットのグリップを握り、グリップと垂直・面と平行な軸のまわりに1回転するようにラケットを放り上げ、キャッチする。ほとんどの場合、この回転の間に面もまた半回転し、逆の面が上になる。対照的に、（他の軸のまわりに半回転させることなしに）グリップと平行な軸（第3の軸）のまわりに1回転させることは容易い。（他の軸のまわりに半回転させることなしに）面に垂直な軸（第1の軸）のまわりに1回転させることもまた容易い。

あるいは、スマートフォンを空中に回転させながら放りあげる場合、ピザ回しのように回転させる(第一軸)のと、縦に持ったときに横向きに回転させる(第三軸)のは安定しているが、縦向きに回転させる(第二軸)と横向きにも回転する。

他に本やリモコンなど、3つの異なった主慣性モーメントを持つ物体であれば何を使ってもこの実験はできる。この効果は、回転の軸が第2慣性主軸から大きく乖離していないときにはいつでも起き、空気抵抗や重力とは関係がない[6]。

理論

中間軸の不安定性を視覚化したもの。角運動量と運動エネルギーの大きさがいずれも保存されているとき、角速度ベクトルは2つの楕円体の交線上を指し続ける。

テニスラケットの定理はオイラーの運動方程式を用いて定量的に分析できる。トルクがゼロであれば次の方程式が成り立つ：

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}

ここで $I_{1},I_{2},I_{3}$ は物体の主慣性モーメントを表し、 $I_{1}>I_{2}>I_{3}$ であるとする。物体の3つの慣性主軸のまわりの角速度を $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ それらの時間微分を ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$ で表す。

第1慣性主軸のまわりの回転の安定性

第1慣性主軸（主慣性モーメント $I_{1}$ ）のまわりの回転を考える。つり合いでの性質（the nature of equilibrium）を決定するため、他の2軸のまわりの角速度の初期値は小さいものと仮定する。このとき式 (1) から、 $~{\dot {\omega }}_{1}$ は非常に小さくなる。よって、 $~\omega _{1}$ の時間変化は無視してよい。

ここで式 (2) を微分し、式 (3) を代入すると

{\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{2})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}

$\omega _{2}$ が（その2階時間微分と）逆向きであるため、この軸のまわりの回転は安定する。

同様に考えて、 $I_{3}$ に対応した軸まわりの回転も安定的である。

第2慣性主軸のまわりの回転の不安定性

次は同じことを主慣性モーメント $I_{2}$ に対して考える。今度は ${\dot {\omega }}_{2}$ が非常に小さい。よって $~\omega _{2}$ の時間変化は無視できる。

ここで式 (1) を微分して式 (3) を代入すると

{\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{2})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}

今度は $\omega _{1}$ が（その2階時間微分と）逆向きでない（よって一方向に増幅していく）ことに注意すると、第2軸のまわりの回転は不安定である。このようにして、他の軸のまわりの揺らぎがたとえわずかであったとしても物体をひっくり返す。

脚注

Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 July 2009 （ロシア語）. The software can be downloaded from here
Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, Paris
Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
Ashbaugh, Mark S.; Chicone, Carmen C.; Cushman, Richard H. (January 1991). “The Twisting Tennis Racket”. Journal of Dynamics and Differential Equations 3 (1): 67–85. Bibcode: 1991JDDE....3...67A. doi:10.1007/BF01049489.
Levi, Mark (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443

外部リンク

Dan Russell (2010年3月5日). “Slow motion Dzhanibekov effect demonstration with table tennis rackets”. 2017年2月2日閲覧。
この効果のデモンストレーション（djanibek.zip）へのリンク - Dzhanibekov's Effect（ロシア語）
zapadlovsky (2010年6月16日). “Dzhanibekov effect demonstration”. 2017年2月2日閲覧。 on Mir International Space Station
Viacheslav Mezentsev (2011年9月7日). “Djanibekov effect modeled in Mathcad 14”. 2017年2月2日閲覧。
Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps, Paris, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC 457954839：この効果に関する科学史上最初の数学的記述。

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[1] Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 July 2009 （ロシア語）. The software can be downloaded from here

[2] Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, Paris

[3] Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

[4] Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

[5] Ashbaugh, Mark S.; Chicone, Carmen C.; Cushman, Richard H. (January 1991). “The Twisting Tennis Racket”. Journal of Dynamics and Differential Equations 3 (1): 67–85. Bibcode: 1991JDDE....3...67A. doi:10.1007/BF01049489.

[6] Levi, Mark (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443

テニスラケットの定理

理論

第1慣性主軸のまわりの回転の安定性

第2慣性主軸のまわりの回転の不安定性

関連項目

脚注

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