スピン角運動量

本節ではまず回転群とユニタリ群について紹介し、次にこれらの概念を使って軌道角運動量の概念を回転対称性の観点から定式化する。本節で軌道角運動量の概念を復習するのは、次節以降、軌道角運動量の定義を参考にしながらスピン角運動量の概念を定式化する為である。

スピン角運動量演算子の定義に必要な数学的知識を簡単に述べる。Rを実数全体の集合、Cを複素数全体の集合とする。3次元空間R³における回転行列全体の集合を

${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~\det R=1\}}$

と表記する。ここで ${\displaystyle M_{n,n}(\mathbf {R} )}$ は n 行 n 列の実行列全体の集合であり、I は単位行列であり、^tR は R の転置行列である。SO(3) は行列の積に関して群をなすので、SO(3) を3次元回転群という。

SO(3) のように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という（厳密な定義はリー群の項目を参照）。特にSO(3) のように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。 以下でVは複素計量ベクトル空間であり、Iは単位行列であり、A^*はAのエルミート共役である：

3次元回転群${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\{R\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}RR=I,~\det R=1\}}$ …(G1)

ユニタリ群${\displaystyle \mathrm {U} (V)=\{U~:~V}$上の線形写像で、${\displaystyle UU^{*}=I\}}$ …(G2)

特殊ユニタリ群${\displaystyle \mathrm {SU} (V)=\{U~:~V}$上の線形写像で、${\displaystyle UU^{*}=I,~\mathrm {det} U=1\}}$ …(G3)

ベクトル空間VがCⁿである場合は、U(V)、SU(V)の事をそれぞれU(n)、SU(n)と表記する。

GをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとするとき、集合

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\Bigg \{}{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}~:~R(t)}$は G 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる${\displaystyle {\Bigg \}}}$ …(G4)

をGのリー環と呼び、${\displaystyle {\mathsf {g}}}$の元をG上の無限小変換と呼ぶ。リー「環」という名称なのは、${\displaystyle {\mathsf {g}}}$が行列の交換子積

${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$

に関して環をなすからである。SO(3)、U(V)、SU(V)のリー環はそれぞれ、

${\displaystyle {\mathsf {so}}(3)=\{F\in M_{n,n}(\mathbf {R} )~:~{}^{t}F=-F\}}$ …(G5)

${\displaystyle {\mathsf {u}}(V)=\{A~:~A}$はV上の線形写像で、${\displaystyle A^{*}=-A\}=\{A~:~A}$はV上の歪エルミート演算子${\displaystyle \}}$ …(G6)

${\displaystyle {\mathsf {su}}(V)=\{A~:~}$はV上の線形写像で、${\displaystyle A^{*}=-A,~\mathrm {tr} A=0\}}$ …(G7)

である。so(3)が上述した形になるのは以下の理由による。R(t)をSO(3) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となるものとすると、SO(3) の定義より、

${\displaystyle {}^{t}R(t)R(t)=I}$

なので、その t = 0 での微分は

${\displaystyle \left.{{}^{t}\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}+\left.{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}=0}$

を満たす為である。u(V)、su(V)が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。

${\displaystyle {\mathsf {g}}}$をso(3)、u(V)、su(V)のいずれかとし、行列${\displaystyle A\in {\mathsf {g}}}$に対しexp(A) を

${\displaystyle \mathrm {exp} (A)=\sum _{n=0}^{\infty }{A^{n} \over n!}}$ …(G8)

と定義すると次が成立する：

A∈so(3)、u(V)、su(V)であれば、exp(A) はそれぞれSO(3)、U(V)、SU(V)の元である。 …(G9)

${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\exp(tA)=A}$ …(G10)

SO(3) に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル x = (x, y, z) ∈ R³に対し、so(3)に属する行列F_xを

${\displaystyle F_{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}\in {\mathsf {so}}(3)}$ …(G11)

と定義すると[7][8]次が成立する[8]：

exp(F_x) は x を軸とする回転行列で、回転角は軸に対しては右回りに ||x|| ラジアンである。 …(G12)

${\displaystyle [F_{\mathbf {x} },F_{\mathbf {y} }]=F_{\mathbf {x} \times \mathbf {y} }}$ …(G13)

ここで「×」はクロス積である。G、HをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとし、${\displaystyle {\mathsf {g}}}$、${\displaystyle {\mathsf {h}}}$をG、Hのリー環とする。（すなわち${\displaystyle {\mathsf {g}}}$、${\displaystyle {\mathsf {h}}}$はso(3)、u(V)、su(V)のいずれかである）。

${\displaystyle \pi ~:~G\to H}$

をGからHへの可微分な準同型写像とする。このときπが誘導する写像π_*を

${\displaystyle \pi _{*}~:~{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {g}}}$${\displaystyle \mapsto {\operatorname {d} \pi (R(t)) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {h}}}$ …(G14)

により定義すると、この写像はwell-definedになる。しかもこの写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。すなわち

${\displaystyle \pi _{*}([A,B])=[\pi (A),\pi (B)]}$ …(G15)

である。

πが誘導する写像π_*と行列の指数関数expは以下の関係を満たす：

任意の${\displaystyle A\in {\mathsf {g}}}$に対し、${\displaystyle \pi (\exp(A))=\exp(\pi _{*}(A))}$ …(G16)

（非相対論的な）量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ は3次元ユークリッド空間 R³ 上のL² 空間と等しい、すなわち

${\displaystyle {\cal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$

である。

軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される[9]。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を SO(3) と書くとき、回転行列 R ∈ SO(3) により座標系を回転したとき、波動関数 ϕ(x) は ϕ(R⁻¹x) に移動する。すなわち、各回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の空間 ${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$ 上にユニタリ演算子

${\displaystyle \lambda (R)~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~}$${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R^{-1}{\boldsymbol {x}})}$

が定義される[10][11]。

複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体のなす群をU(V)とするとき、回転行列 R に対し複素ベ クトル空間${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$ 上のユニタリ演算子 λ_R を対応させる（連続準同型）写像

${\displaystyle \lambda ~:~R\in \mathrm {SO} (3)\mapsto \lambda (R)\in \mathrm {U} (L^{2}(\mathbf {R} ^{3}))}$

を SO(3) の${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$上のユニタリ表現という。

一方、SO(3) に対応する「無限小変換」全体の集合 so(3) を(G1)のように定義し、(G14)に従ってλが誘導する写像λ_*を

${\displaystyle \lambda _{*}~:~{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)}$${\displaystyle \mapsto {\operatorname {d} \lambda (R(t)) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$上の歪エルミート演算子${\displaystyle \}}$

そこで単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R³に対し、F_nを(G11)のように定義し、虚数単位 i と換算プランク定数ħを用いて、

${\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }}$${\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{\mathbf {n} })}$　　…(J1)

と定義すると、${\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }}$はL²(R³)上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転F_nに対応する演算子」[9]であり、この演算子を軸 n = (x, y, z) ∈ R³の周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。

例えば z 軸の周りの軌道角運動量${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ が球面座標系 (r, θ, φ) を用いて

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }}$

と表記できる事を以下のように確認できる。ψを任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}\psi (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{(1,0,0)})\psi (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle =\lambda _{*}\left({\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\exp(tF_{(1,0,0)}){\Bigg |}_{t=0}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \lambda (\exp(tF_{(1,0,0)})) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\psi (r,\theta ,\phi )}$${\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\psi (r,\theta ,\varphi -t){\Bigg |}_{t=0}}$${\displaystyle =-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\psi (r,\theta ,\varphi )}$

さらに x 軸、y 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ${\displaystyle {\hat {L}}_{x}}$、${\displaystyle {\hat {L}}_{y}}$とし、F_x=F_(1,0,0)、F_y=F_(0,1,0)、F_z=F_(0,0,1)とすると、(G15)、(G13)より交換関係

${\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{x},F_{y}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{z}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{y},F_{z}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{x})={\hat {L}}_{x}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{z},F_{x}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{y}}$

が従う。

2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、SO(3) のユニタリ表現 λ によって結ばれる。すなわち、R を回転行列で z 軸を w 軸に移すものとすると、w 軸の周りの軌道角運動量${\displaystyle {\hat {L}}_{w}}$ は合成写像

${\displaystyle {\hat {L}}_{w}=\lambda (R){\hat {L}}_{z}\lambda (R)^{-1}}$

である。

前節まで述べたように、軌道角運動量演算子は粒子の位置を表す(x,y,z)による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは(x,y,z)とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。これが原因で、スピンを考慮した場合、波動関数全体のなすヒルベルト空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ は一粒子系であっても ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$はL²(R³) とは等しくならない。

したがってスピンを記述するには、スピンの状態ベクトルの空間V_s をL²(R³)とは別個に用意し、

${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}$

を考える必要がある[12][注釈 1]。ここで添字s ≥ 0は整数もしくは半整数であり、V_sは2s+1 次元の複素計量ベクトル空間である。

一粒子系の波動関数の空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$が上述のように表記できるとき、s をその粒子のスピン量子数という[13]。V_s をスピノール空間[14]、V_s の元をスピノールという。s が整数ではない半整数になるときその粒子をフェルミオンといい、s が整数になるときその粒子をボゾンという。

多くの物理の教科書では、スピンを考慮した波動関数${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}$を二通りの方法で表記する。そこで次にこの二通りの表記方法を紹介する。

テンソル積の定義より、波動関数${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}$は

${\displaystyle \psi =\sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}}$　　　　　…(B1)

という形に成分表示できる。ここで${\displaystyle \phi _{j}(x,y,z)}$はL²(R³)の元であり、σ_jはV_sの元である。そこで、

${\displaystyle \varphi _{j}(x,y,z,\sigma ):=\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma }$

と定義すれば、

${\displaystyle \psi =\sum _{j}\varphi _{j}(x,y,z,\sigma _{j})}$

である。このように表記すると、スピン（を表すスピノール）σ_jが(x,y,z)とは独立の第四の内部自由度である事がわかりやすい。

スピンを考慮した波動関数ψの成分表示(B1)を別の角度から解釈する。スピンを考慮した波動関数ψに対し、ψ'(x,y,z)を

${\displaystyle \psi '(x,y,z):=\sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\cdot \sigma _{j}\in V_{s}}$

と定義する事ができる。なお上式で「・」はベクトルσ_jの${\displaystyle \phi _{j}(x,y,z)}$によるスカラー倍である。スピンを考慮しない通常の波動関数が1次元複素計量ベクトル空間Cに値を取るのに対し、ψ'(x,y,z)は2s+1次元複素計量ベクトル空間V_sに値を取る波動関数であるとみなせる。スピンを考慮した波動関数ψを、V_sに値を取る波動関数とみなしたものを、ψのスピノール表示という。

多くの物理の教科書では、V_sの元を成分表示した形で紹介している。e_−s, e_{−(s − 1)}, …, e_{s − 1}, e_s をV_sの基底とするとき、ψ'(x,y,z)は必ず

${\displaystyle \psi '(x,y,z):=\sum _{j}\phi '_{j}(x,y,z)\cdot e_{j}\in V_{s}}$

の形で表記できるので、ψ'(x,y,z)はベクトル

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi '_{-s}(x,y,z)\\\vdots \\\phi '_{s}(x,y,z)\\\end{pmatrix}}}$

と成分表示できる。

なお基底 e_−s, e_{−(s − 1)}, …, e_{s − 1}, e_s は通常、（何らかの軸に関する）スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。

量子力学においてスピンを考慮しない場合のオブザーバブル${\displaystyle {\hat {A}}}$は、L²(R³) 上のエルミート演算子として定式化されている。スピンを考慮した場合、この演算子${\displaystyle {\hat {A}}}$を

${\displaystyle {\hat {A}}\otimes \mathrm {id} ~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},}$ ${\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}{\hat {A}}(\phi _{j}(x,y,z))\otimes \sigma _{j}}$

と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}$上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。

後述するように、スピン角運動量演算子は、V_s上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}}$上のオブザーバブルとみなす。すなわち${\displaystyle {\hat {S}}}$を（何らかの軸に関する）スピン角運動量とするとき、${\displaystyle {\hat {S}}}$は

${\displaystyle \mathrm {id} \otimes {\hat {S}}~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},~~}$${\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes {\hat {S}}(\sigma _{j})}$

と同一視する。

軌道角運動量演算子が${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は V_s に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$を単純に V_s に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。

軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 SO(3) の${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$上のユニタリ表現

${\displaystyle \lambda (R(t))~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~\phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R(t)^{-1}{\boldsymbol {x}})}$

を t に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。

したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$を V_s に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、SO(3) の V_s 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている[15]：

すなわち上述した方法論では、s が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。

一つ目の解決方法は V_s を直接考えるのではなく、V_s の元を位相の相違を無視する同値関係[16]

${\displaystyle \phi \sim \psi }$${\displaystyle {\overset {def}{\iff }}\exists \alpha \in [0,2\pi ]~:~\phi =\mathrm {e} ^{i\alpha }\psi }$

で割った空間

${\displaystyle V_{s}/\sim }$

を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係

${\displaystyle U\sim U'}$${\displaystyle {\overset {def}{\iff }}\exists \alpha \in [0,2\pi ]~:~U=\mathrm {e} ^{i\alpha }U'}$

により同一視した同値類 [U] を考えるというものである[17]。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を

${\displaystyle \mathrm {PU} (V_{s})=\mathrm {U} (V_{s})/\sim }$

と表記する。PU(V_s) を V_s 上の射影ユニタリ群、PU(V_s) に属する同値類を V_s 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。

射影ユニタリ演算子 [U] は V_s / ∼ 上の写像となる事が知られている：

${\displaystyle [U]~:~V_{s}/\sim ~\to ~V_{s}/\sim }$

そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、SO(3) のユニタリ表現の代わりに SO(3) の射影ユニタリ表現

${\displaystyle R\in \mathrm {SO} _{3}\mapsto \lambda '(R)\in \mathrm {PU} (V_{s})}$

を用いる。

通常のユニタリ表現と違い、射影ユニタリ表現は次を満たす事が知られている[18]

よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。

本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。しかしすでに述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。

射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。

今一つの解決は、SO(3) の代わりに3次元スピン群 Spin(3) を用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。n 次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。（このような性質を満たす連結行列群は同型を除いて1つしか存在しない事が知られている）：

可微分準同型写像 Φ_n: Spin(n) → SO(n) で、2:1 の全射となるものが存在する。　　　…C1

ここでSO(n)はn次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群Spin(3)であり、Spin(3)は2次元特殊ユニタリ変換群 SU(2) と同型なことが知られている：

${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\simeq \mathrm {SU} (2)=\{U\in \mathrm {M} _{2,2}(\mathbf {C} )~:~U^{*}U=I,~\mathrm {det} U=1\}}$

したがって以下、特に断りがない限り Spin(3) と SU(2) を同一視する。

スピン群の定義より、回転行列 R は何らかのスピン群の元 U を用いて

${\displaystyle R=\Phi _{3}(U)}$

と書くことができる。これはすなわち、回転行列 R を直接扱う代わりに、スピン群の元 U により回転が記述可能な事を意味する。そこで SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を考える。SO(3) のユニタリ表現と違い、Spin(3) のユニタリ表現は以下を満たす[18]:

よって SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。詳細は後述する。

上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。これは Spin(3) のユニタリ表現と SO(3) の射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。具体的には、π_s(S) をスピン群の元 S の V_s 上のユニタリ表現とし、γ(R) を回転行列 R の V_s 上の射影ユニタリ表現とすると、（適切に同型なものと置き換えれば）以下の図式が可換になる。ここで proj は同値類を取る写像。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathrm {Spin} (3)&{\overset {\Phi _{3}}{\longrightarrow }}&\mathrm {SO} (3)\\\pi _{s}{\Big \downarrow }&\circlearrowleft &\gamma {\Big \downarrow }\\\mathrm {U} (V_{s})&{\overset {\text{proj}}{\longrightarrow }}&\mathrm {PU} (V_{s})\end{array}}}$

以上の議論により、Spin(3)=SU(2)を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。そこで本節では、スピン角運動量の定義に必要となる

• スピノール空間V_s
• 定理3で述べたSpin(3)=SU(2)の既約ユニタリ表現${\displaystyle \pi _{s}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (2)}$
• Spin(3)=SU(2)からSO(3)への写像${\displaystyle \Phi _{3}~~:~~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)}$

などを具体的に書き表す。ただし本節ではV_sとπ_sに関しては最も重要なs=1/2の場合を述べるに留める。それ以外のsに関しては後の章を参照されたい。

M_{2, 2}(C) を複素二次正方行列全体の集合とし、I を単位行列とするとき、Spin(3) = SU(2)は2次元ユニタリ変換全体の集合

${\displaystyle U(2)=\{U\in M_{2,2}(\mathbf {C} )~:~U^{*}U=I\}}$

の部分集合である。したがって

${\displaystyle V_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}}$ …(H1)

と定義すると、包含写像

${\displaystyle \mathrm {id} ~:~U\in \mathrm {SU} (2)\mapsto U\in \mathrm {U} (2)}$

は Spin(3) = SU(2) の元の V_1/2 上のユニタリ表現になっている。このユニタリ表現が、定理3で述べた既約ユニタリ表現の s=1/2 の場合に相当している。すなわち、

${\displaystyle \pi _{1/2}=\mathrm {id} }$ …(H2)

軌道角運動量を定義する際SO(3)の無限小変換の集合so(3)が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはSpin(3) = SU(2) の「無限小変換」全体の集合spin(3)=su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、

${\displaystyle {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)={\Bigg \{}{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}~:~U(t)}$は Spin(3)=SU(2) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる${\displaystyle {\Bigg \}}}$.${\displaystyle =\{A\in M_{2,2}(\mathbf {C} )~:~A^{*}=-A,~\mathrm {tr} A=0\}}$　　...(L1)

である。su(2) 上に内積

${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :=2\mathrm {tr} (AB^{*})} 　　　…L2

を定義すると[19][注釈 2]、su(2) は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。

次にsu(2) の基底について述べる。パウリ行列 σ₁, σ₂, σ₃ を

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}$ …(L3)

により定義し、su(2)の元X₁、X₂、X₃を

${\displaystyle X_{1}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}},~~X_{2}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},~~X_{3}=-{i \over 2}\sigma _{3}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}$　　　....(L4)

により定義すると[19][20]、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。

X₁、X₂、X₃はspin(3) = su(2) 上の正規直交基底である[19][20]。　　　　...(L5)

そこで3次元ベクトルx=(x, y, z)∈R³に対し、

${\displaystyle X_{\mathbf {x} }=xX_{1}+yX_{2}+zX_{3}=-{i \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3})={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}}$　　　　…(L6)

と定義すると、写像

${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{3}{\overset {\sim }{\to }}X_{\mathbf {x} }\in {\mathsf {spin}}(3)}$

により${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ と spin(3) = su(2) を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する[21]：

${\displaystyle X_{\mathbf {x} \times \mathbf {y} }=[X_{\mathbf {x} },X_{\mathbf {y} }]}$

ここで「×」はクロス積であり、[A,B] = AB-BAは交換子積である。

Spin(3) = SU(2) は、α, β の実数を用いて

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,~|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}}$ …(X1)

と書き表すことができる事が簡単な計算から従う[22][21]。

一方、n=(x, y, z)∈R³を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}}$　…(X2)

と定義すると簡単な計算により、

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }^{2}=I}$

がわかる。よって行列Aに対する指数関数exp(A)を(A3)式のように定義すると、τ ∈ [0,2π]に対し、

${\displaystyle \exp(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })=\sum _{j=0}^{\infty }{1 \over j!}(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })^{j}}$${\displaystyle =\sum _{j~:~{\text{even}}}{(i\tau )^{j} \over j!}I+\sum _{j~:~{\text{odd}}}{(i\tau )^{j} \over j!}\sigma _{\mathbf {n} }}$${\displaystyle =\cos(\tau )I+i\sin(\tau )\sigma _{\mathbf {n} }}$ ...(X3)

が従う[23]。

${\displaystyle \theta =2\tau }$

とすると、(L4)で述べたspin(3)=su(2)の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる：

Spin(3)=SU(2)の任意の元Uは単位ベクトルn=(x, y, z)∈R³と

θ∈[0,4π]

を用いて

${\displaystyle U=\exp(\theta X_{\mathbf {n} })}$

の形で表記可能である。しかもS≠I, −Iであればこのように表記できるn、θは一意である。 ...(X4)

前の節で述べたように、su(2) は3次元の計量ベクトル空間なので、R³と同一視できる。U ∈ Spin(3) = SU(2)と${\displaystyle Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}}$に対し、UYU⁻¹も${\displaystyle {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}}$の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像Φ₃(U)を

${\displaystyle \Phi _{3}(U)~:~Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}\mapsto UYU^{-1}\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}}$

と定義するとΦ₃(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちΦ₃(U)は回転変換であるので、Φ₃(U)∈SO(3)である。

以上により、Spin(3) から SO(3) への準同型写像

${\displaystyle \Phi _{3}~:~U\in \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)\mapsto \Phi _{3}(U)\in \mathrm {SO} (3)}$

が定義できた。この Φ₃の具体的表記は後の節で述べる。

(G14)に従い、Φ₃が誘導する写像(Φ₃)_* を、

${\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~\left.{\mathrm {d} U(t) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\mapsto \left.{\mathrm {d} \Phi _{3}(U(t)) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)}$…(D1)

により定義する。このとき(Φ₃)_* は

${\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })=F_{\mathbf {x} }}$ …(D2)

を満たす[24][25]。成分で書けば

${\displaystyle {1 \over 2}(\Phi _{3})_{*}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}}$

である。特に

${\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {su}}(2)}$ …(D3)

は同型写像である。

(G16)、(D2)より、

${\displaystyle \Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp((\Phi _{3})_{*}(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp(\theta F_{\mathsf {x}})}$ …(E1)

である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θX_x)の形に書けるので、上式によりΦ₃の振る舞いを完全に記述可能である。

しかも

${\displaystyle \Phi _{3}(\exp((\theta +2\pi )X_{\mathbf {n} }))=\exp((\theta +2\pi )F_{\mathbf {n} })}$${\displaystyle =\exp(\theta F_{\mathbf {n} })=\Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {n} }))}$

であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ₃が2:1の写像であるという事実が確認できる。

Spin(3)=SU(2)の元の成分表示(X1)を用いると、Φ₃は下記のように表示できることも知られている[26]：

${\displaystyle \Phi _{3}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&-\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {Re} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Im} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&-2\mathrm {Re} (\alpha \beta )\\-\mathrm {Im} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Re} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&2\mathrm {Im} (\alpha \beta )\\2\mathrm {Re} (\alpha {\bar {\beta }})&2\mathrm {Im} (\alpha {\bar {\beta }})&|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}\\\end{pmatrix}}}$

以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。

${\displaystyle \pi ~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (V_{s})}$

を Spin(3)=SU(2) の V_s上の既約ユニタリ表現とする（そのようなユニタリ表現の存在性と（同型を除いた）一意性は定理3で保証される）。なお s=1/2 に対するV_s、π_s は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対するV_s、π_s は次節以降に後述する。

さらに

${\displaystyle \Phi _{3}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)}$

を(C1)式で述べた、Spin(3) から SO(3)への 2:1 写像とする（この写像の具体的な形は(E1)式を参照）。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「${\displaystyle G{}^{\curvearrowright }V}$」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する（すなわちGはVに作用する）。

π_s が誘導する写像 (π_s)_*を以下のように定義する：

${\displaystyle \pi _{*}~:~\left.{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\mapsto \left.{\operatorname {d} \pi _{s}(U(t)) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}\in \{V_{s}}$上のエルミート演算子${\displaystyle \}}$ …(F1)

同様に Φ₃ が誘導する(Φ₃)_* を(D1)式のように定義すると、(Φ₃)_* は(D2)式のように書け、(D3)より

${\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {so}}(3)}$

である。

単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R³に対し無限小回転 X_n ∈ su(2) を(L6)式のように定義し、合成写像

${\displaystyle X_{\boldsymbol {n}}\in {\mathsf {spin}}(3){\overset {(\pi _{s})_{*}}{\to }}\{V_{s}}$上の歪エルミート演算子${\displaystyle \}{\overset {\times i\hbar }{\to }}\{V_{s}}$上のエルミート演算子${\displaystyle \}}$

によって定まるエルミート演算子

${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })}$ …(F2)

を考えると、(D2)より、

${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}((\Phi _{3})_{*}{}^{-1}(F_{\mathbf {n} }))}$

と書けるので、${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }}$は3次元空間上の無限小回転F_nに対応する演算子とみなせる。

この${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }}$を、nを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ[27][18][注釈 3]。

x軸(1,0,0)、y軸(0,1,0)、z軸(0,0,1)∈${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$を回転軸に持つスピン角運動量演算子を${\displaystyle {\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}}$とすると、

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {S}}_{x}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})\\{\hat {S}}_{y}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})\\{\hat {S}}_{z}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})\end{array}}}$

となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{1},X_{2}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})=i\hbar {\hat {S}}_{z}\\\left[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{2},X_{3}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})=i\hbar {\hat {S}}_{x}\\\left[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{3},X_{1}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})=i\hbar {\hat {S}}_{y}\end{aligned}}}$

次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。n、m∈R³を2つの単位ベクトルとし、nとmが回転行列Rにより、

${\displaystyle \mathbf {n} =R\mathbf {m} }$

で移り合っていたとする。写像Φ₃  : Spin(3)=SU(2) → SO(3)は２：１の全射であるので、

${\displaystyle R=\Phi _{3}(U)=\Phi _{3}(-U)}$

を満たすUが存在する。

スピン角運動量演算子${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }}$、${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }}$はその定義より、V_s上のユニタリ演算子であり、両者は

${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=\pi _{s}(U){\hat {S}}_{\mathbf {m} }\pi _{s}(U)^{-1}}$

という関係で結ばれる。ここで右辺は${\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }}$とπ_s(U)の行列としての積である。