コーシー–アダマールの定理

一複素変数 z に関する、以下のような冪級数を考える。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}$

ここで ${\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} }$ とする。このとき、f の収束半径は以下のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

ただし、上極限 (lim sup) は次のように定義される。

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }u_{n}:=\lim _{n\to \infty }\sup\{u_{k}:k\geq n\}.}$

なお、supは上限を意味する。